Integración por Partes

El método de la integración por partes esta basada en la derivada de un producto de funciones
formula:

Con la siguiente regla mnemotécnica nos ayudara a recordar la formula de integración por partes:

Se llama integración por partes porque la integral se divide en dos partes una U y otra dv, la integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo mas importante y se debe realizar de la siguiente manera:

1. En la parte que corresponde a dv debe ser la función mas fácil de integrar 
2. En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa(funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva las funciones trigonométricas y exponenciales son mas sencillas de trabajar.

En la practica, el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es siempre sencillo y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso.Sin embargo , hay una regla empírica de gran ayuda pero no de carácter general  que nos pueden ayudar hacer una mejor elección:

LATE.

L= Funciones Logarítmicas.

A= Funciones Algebraicas.

T=Funciones Trigonométricas.

E=Funciones Exponenciales.

Con esta regla empírica lo que podemos hacer es que se selecciona en el orden en que se escribe la frase por ejemplo:

Observe que el integrando esta compuesto por dos funciones, una algebraica en este caso(x) y otra exponencial (e^-x).   Se busca en la palabra late las letras A y E, leyendo de izquierda a derecha, y nos damos cuenta que la letra A, aparece primero, entonces elegimos la función algebraica como u  es decir:

 U=X

Por lo tanto lo que queda en la integral es dv, Así:

                                                                                                                                                        

Ejemplo 1:

Observamos que el integrando esta compuesto por dos funciones, una algebraica en este caso(x) y otra trigonométrica (cos x).   Se busca en la palabra late las letras A y T, leyendo de izquierda a derecha, y nos damos cuenta que la letra A, aparece primero, entonces elegimos la función algebraica como u  es decir:

u=x y du=dx, Por lo tanto lo que queda en la integral: dv=Cosx  y dv=sin x

Usando la formula de integración por partes nos quedaría:

resolviendo la integral nos quedaría

En los siguientes ejemplos hay otros ejemplos por cierto muy explicativos que 

Ejemplo 2

Ejemplo 3